Winkelfunktionen

I

Winkelfunktionen,

 

Kreisfunktionen, trigonometrische Funktionen, goniometrische Funktionen, Sammelbezeichnungen für die transzendenten Funktionen Sinus (Funktionszeichen sin), Kosinus (Cosinus, cos), Tangens (tan, veraltet tg), Kotangens (Cotangens, cot, veraltet ctg), Sekans (Secans, sec) und Kosekans (Cosecans, cosec, veraltet csec). In der elementaren Geometrie sind die Winkelfunktionen für spitze Winkel α als Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Ankathete a, der Gegenkathete b und der Hypotenuse c von α wie folgt definiert:

 

 

Für gerichtete Winkel α mit —2π ≦ α ≦ 2π sind die Winkelfunktionen als Koordinatenverhältnisse eines von α abhängigen Punkts auf einem Kreis mit dem Radius R erklärt, dessen Mittelpunkt im Ursprung der durch das kartesische Koordinatensystem orientierten Ebene liegt. Bezeichnen x (α) und y (α) die Koordinaten des Schnittpunkts der zu α gehörigen Halbgeraden mit diesem Kreis, so ist

 

 

Diese Definitionen sind wegen der Gültigkeit der Strahlensätze unabhängig vom Radius R. Zur Vereinfachung wählt man daher den Einheitskreis mit R = 1, sodass z. B. sin α = y und cos α = x wird. Am Einheitskreis können mithilfe der Strahlensätze auch die Funktionen tan α und cot α geometrisch veranschaulicht werden.

 

Der Definitionsbereich der am Einheitskreis definierten Winkelfunktionen kann durch periodische Fortsetzung auf alle reellen Zahlen ausgedehnt werden:

 

 

wobei k, n ∈ ℤ. Die Winkelfunktionen sind auf dem Definitionsbereich ℝ also periodisch mit der Periode 2π beziehungsweise π, und aus ihrer Definition am Einheitskreis folgt unmittelbar

 

 

sowie

 

 

d. h. cos α ist eine gerade Funktion, sin α, tan α und cot α sind ungerade Funktionen. Für die Winkelfunktionen gelten weitere Beziehungen, v. a. die Additionstheoreme. Die grafischen Darstellungen der Winkelfunktionen in rechtwinkligen Koordinaten liefern die bekannten periodischen Kurven von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Dabei wird üblicherweise der Winkel α nicht in Grad, sondern im Bogenmaß angegeben.

 

Analytisch werden die Sinus- und Kosinusfunktion für alle x ∈ C durch die Potenzreihen

 

 

definiert und die Tangens- und Kotangensfunktion durch

 

 

Da sin |x| und cos |x| die gemeinsame konvergente Majorante e^|x| besitzen, konvergieren die Reihen sin x und cos x absolut auf C. Diese komplexwertigen Winkelfunktionen stimmen auf ℝ mit den am Einheitskreis definierten Winkelfunktionen überein. Den Zusammenhang der Sinus- und Kosinusfunktion mit der Exponentialfunktion beschreibt die eulersche Formel. Die reellen Nullstellen der Sinus- und Kosinusfunktion sind auch im Komplexen die einzigen, außerdem bleiben die Periodizitätseigenschaften erhalten. Die Winkelfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig und differenzierbar und es ist

 

 

Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen in geeigneten Teilbereichen ihres Definitionsbereichs sind die Arkusfunktionen; ferner hängen die Hyperbelfunktionen und somit die Areafunktionen mit den Winkelfunktionen zusammen.

 

II

Winkelfunktionen,

 

Trigonometrie.